Тема "Числа"

Натуральные числа – числа, получаемые при естественном счете.

1.Число 0 не является натуральным числом, ряд натуральных чисел начинается с 1.

2.Ряд натуральных чисел (множество натуральных чисел) является бесконечным.

3.Отрицательное число, полученное добавлением к натуральному числу знака минус, не является натуральным числом. То есть, например, число -10 не является натуральным числом. Натуральное число это всегда положительное число.

4.Любое натуральное число является одновременно целым числом, рациональным числом, вещественным числом.

Простые числа – натуральные числа, имеющие ровно два различных натуральных делителя. То есть простое число можно разделить нацело (без остатка) только на 1 и на само это число.

Например, число 17 можно разделить нацело только на 1 и на 17. Число 17 является простым числом. Число 10 можно разделить нацело на 1, на 2, на 5 и на 10. Поэтому число 10 не является простым числом.

К простым числам (см. Рис.№1) относятся :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

1.Число 1 не является простым числом, ряд простых чисел начинается с числа 2.

2.Ряд простых чисел (множество простых чисел) является бесконечным.

3.Отрицательное число, полученное добавлением к простому числу знака минус, не являются простым числом. То есть, например, число -13 не является простым числом. Простое число это всегда положительное число.

4.Любое простое число является одновременно натуральным числом, целым числом, рациональным числом, вещественным числом.

5.Среди простых чисел только одно число является четным, это число 2. Остальные числа нечетные.

Целые числа получены путем расширения множества натуральных чисел.

В множество целых чисел (Рис.№2) входят:

1) натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...),

2) числа, противоположные по знаку натуральным числам (... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1),

3) число 0.

1.Число 0 является целым числом.

2.Ряд целых чисел (множество целых чисел) является бесконечным.

3.Любое целое число одновременно является рациональным числом, вещественным числом.

4.Целые числа деляться на две группы: четные и нечетные (Рис.№3).

Четные числа – целые числа, которые делятся на два нацело (без остатка).

Нечетные числа – целые числа, которые не делятся на два нацело (без остатка).

1.Число 0 является четным числом.

2.Ряды четных и нечетных чисел (множества четных и нечетных чисел) являются бесконечными.

3.Любое четное и нечетное число одновременно является целым числом, рациональным числом, вещественным числом.

Рациональные числа – числа, представимые в виде дроби

где m — целое число, а n - натуральное число.

Примеры, рациональных чисел, представленных в различных формах:

Также, каждое из этих чисел можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей с указанием периода.

Последняя повторяющаяся в десятичной дроби цифра или комбинация цифр составляет период дроби, поэтому дроби называются «периодическими».

0.(216) - читается, как «Нуль целых и 216 в периоде»,

-0.58(3) - читается, как «Минус нуль целых пятьдесят восемь сотых и три в периоде».

Для рациональных чисел верно два обратных высказывания:

1.Все простые, натуральные и целые числа являются рациональными числами.

2.Ряд рациональных чисел (множество рациональных чисел) является бесконечным.

3.В бесконечной десятичной периодической дроби между последними повторяющимися комбинациями цифр не может быть дополнительных цифр или комбинаций цифр. То есть период дроби должен повторяться непрерывно. Например, дробь 0.216216... является рациональным числом. А дробь 0.2164216... не является рациональным числом.

Иррациональные числа – числа в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Например, 0.1234567..., - 4.646810... и т. д.

Иррациональное число нельзя представить в виде дроби

Например, в числе 3.010010001... хотя и просматривается повторение нулей и единиц, это повторение не является периодическим, то есть нет фиксированной комбинации нулей и единиц, которая бы непрерывно повторялась. То же можно сказать об отрицательном иррациональном числе -5.0200220002...

К иррациональным числам также относятся:

- любые десятичные числа, получающиеся в результате извлечения квадратного корня из любого натурального числа n, не являющегося точным квадратом. Например,

- некоторые математические константы. Например,

Все множества выше расмотренных чисел можно представить в виде схемы (Рис.№4).

Из этой схемы видно, что все вещественные числа (их еще называют действительными) делятся на рациональные и иррациональные. Множество рациональных чисел Q включает в себя множество целых чисел Z, множество целых чисел включает в себя множество натуральных чисел N, множество натуральных чисел включает в себя множество простых чисел P.

Если рассмотренный на этой странице материал понятен,

закрепите свои знания путем прохождения тестов.